NUTRIMATE: FEDERICO VILLARREAL- BIOGRAFÍA Y POLINOMIO

Sus padres fueron Ruperto Villarreal y Manuela Villarreal. Falleció de derrame cerebral en el balneario limeño de Barranco. Federico Villarreal nació el 3 de agosto de 1850 en Túcume, departamento de Lambayeque (Perú) (El departamento de Lambayeque tiene como capital departamental a la ciudad de Lambayeque) A los 14 años fue cajero en una empresa despepitadora de algodón, pero no dejó de lado sus estudios que lo llevarían hacer profesor y así fue: a los 20 años obtuvo el título de preceptor otorgado por la comisión departamental de Instrucción pública de Trujillo el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigió un colegio de instrucción media en la ciudad de Lambayeque, enseñó allí matemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque. La experiencia de Villarreal como maestro elemental señaló sólo una primera etapa. Su vocación de matemático bullía desbordando su enseñanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de ciencias matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose como bachiller en 1879 con la tesis: "Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" y como licenciado con la tesis: "Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros" (1880).En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: "Clasificación de Curvas de Tercer Grado" destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le mereció a Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú.

EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

Elevación de Polinomios
Transformación de Imaginarias
Volumen de Cuerpos Regulares
Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

$(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C$

la expresión resultante la denotamos por:

$(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots$

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de villarreal establece previamente una simbología:

El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: ${b_0} = {a_0}^m$ .
Dividase el $2^{do}$ término del polinomio entre el primero y llámese el cociente $C^{\prime}$ , dividase el $3^{er}$ término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime}$ , el cuarto término entre el primero y sea el cociente $C^{\prime\prime\prime}$ …. es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,… por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino ${b_{r - 1}}$ multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{i - r}}{r}$ , el penúltimo término ${b_{r - 2}}$ multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{2i - r}}{r}$ , el antepenúltimo término ${b_{r - 3}}$ multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos $\frac{{3i - r}}{r}$ , ……., así tendremos: $b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots$

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener $\sqrt{3}$ con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

Considerar $\sqrt{3}$ como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio $P(x)=(1+x+x^2)$ , es decir: $\sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}$
La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.